Théorème des accroissements finis

Partie 1 - Étude des tangentes à la représentation graphique de la fonction carrée

Soit  \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = x^2\) . Soit \(\text A\) et \(\text B\) les points de la courbe représentative de la fonction `f` d'abscisses respectives `0` et `2` .
1. Déterminer un réel \(c\) dans l'intervalle \(]0;2[\) tel que \(f'(c)\) =  \(\dfrac{f\left(2\right) - f\left(0\right)}{2 - 0}\) .
2. Donner une interprétation géométrique du nombre  \(\dfrac{f\left(2\right) - f\left(0\right)}{2 - 0}\)  puis du nombre  \(f'(c)\) .
3. Proposer un protocole de construction de la tangente à la courbe représentative de la fonction carrée au point d'abscisse

Partie 2 - Généralisation

Soit `a` et `b` deux réels.
Le théorème des accroissements finis affirme que, si \(f\)  est une fonction dérivable sur un intervalle \(\left]a \ ; \ b\right[\) , alors il existe au moins un réel \(c\)  de \(\left]a \ ; \ b\right[\)  tel que  \(\dfrac{f\left(b\right) - f\left(a\right)}{b - a} = f'(c)\) .
1. Donner une interprétation géométrique de ce théorème.
2. Déterminer l'ensemble des valeurs de \(c\)  pour la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = x^2\) .
3. En déduire une construction des tangentes à la parabole.